FFTの周波数ビンからずれた正弦波のパワースペクトルとサイドローブとか

FFT（とDFT）を使用した信号処理のコードを書いていて、半端な周波数をFFTしたらどういった結果になるのか試してみたので纏めました。

よくあるサンプリングレート44.1kHzでサンプリングされた音声波形を、窓長4096サンプルでFFTした結果は、44100/4096 = 約10.76[Hz] の周波数ビン単位で離散化された各周波数(0 , 10.76, 21.52,... ,22050[Hz])に分解されて表現されます。

ここで入力信号として正弦波をFFTする場合で、正弦波の周波数がちょうど周波数ビンと一致するケース、
・1001.29...[Hz]（=10.76*93 ちょうど）
・1012.06...‬[Hz]（=10.76*94 ちょうど）
では良いですが、周波数ビンに一致しない中途半端な周波数
・1006.67...[Hz]（=10.76*93.5）
の時はどうなるんだったか、隣接する周波数ビンにパワーが分散するんだか、昔デジタル信号処理とかで学んだような記憶もありますが既にうろ覚えです。

FFTの周波数ビンからずれた正弦波のパワースペクトルは誤差が大きい

というわけで、100ビンから101ビンまで0.25周波数ビン刻みの周波数の正弦波（振幅1.0 = 0[dB]）をFFTしてみたのが以下の結果です。（44.1kHz,4096sample,Hanning窓）

周波数ビンからずれた正弦波のFFT結果

ちょうど100bin,101binの正弦波をFFTした場合、メインローブは±1binに収まり、サイドローブもグラフ範囲外のかなり低いレベルとなっています。一方、少しでも周波数ビンからずれた周波数の正弦波をFFTするとスペクトルが広がっています。（スペクトル・リーク、Spectral leakage）
ずれ量が最大となる0.5ビン差の場合が最もスペクトルが広がります。