基本的に以下のサイトを参考にさせて頂きましたが、最新版と思われるFWを焼いたところUSB2.0で認識されなくなったり、そもそもMPToolで認識できなくなったり、躓いた所があったので試行錯誤の結果、成功した手順を記載します。
匿名(笑)：USB3.0 HDDケースのファームウェアアップデート
＊ファーム更新の結果保証が無くなったり故障したりデータが飛んだりする可能性があるので、自己責任で行って下さい。
０．ASM1051搭載のドライブを用意する
ASM1051か判別するにはデバイスマネージャでVender ID(VID)とProduct ID(PID)を確認し、以下になっていればASM1051だと思われます。＊どうせ蓋を開けるのでチップのマーキングを見ると早いですが
Vendor ID：174C
Product ID：55AA
今回アップデートしたのは以下の2機種。両方ともASM1051搭載。
初期ファーム：091211000000
2011年購入のUSB3.0対応のHDDケース。後継品はGW3.5AA-SUP3/MBぽいです。
・玄人志向 KRHC-SATA/U3
初期ファーム：100210001901
2010年購入のUSB3.0対応のHDDアダプタ。裸族状態で動作テストしたりフォーマットするのに便利です。古すぎてもうAmazonには売ってません。後継品はKRHC-SATA3/U3です。
ファームウェア更新前は2機種とも以下の状態でした。
・CrystalDiskInfoでSMARTが読み取れない
・3TB非対応
１．ファームウェアとMPToolを入手
Station-DriversのASMediaのページからファームウェアとMPToolを入手します。
大体MPToolも一緒に同梱されていましたので何個かダウンロードして下さい。
・ファームウェア
Asmedia 105x Sata/USB 3.0 Firmware Version 100824.00.00
（100824_00_00_00.bin）
色々試した結果、このバージョンのファームウェアが良かったです。
バージョンによってはUSB2.0で認識できなくなったり、
何故か光学ドライブとして認識されたりしました。
チップとFWが一致しないとのエラーで書き込みできないFWもありました。
・MPTool
Ver 1.10
Ver 2.0.2
基本的に1.10で焼きましたが、KRHC-SATA/U3が1.10だとMPToolで認識出来なかった為、2.0.2も使用しました。
２．MPToolにASM1051を認識させる
適当なHDDを接続した状態でPCに接続後、MPToolを起動します。成功すると下段の一覧にデバイスが表示されます。念のため関係ないデバイスは外しておいたほうが良いです。
上手くいかない場合は以下を試します。
・管理者権限でMPToolを起動する
・MPTool Ver 1.10/2.0.2の両方で試してみる
・USB2.0/3.0の両方で試してみる
＊焼かれているファームによってこの辺の挙動に癖があるようです。
３．ファームウェアを焼く
MPTool 1.10で書き込みを行いました。
・UnLock MP Toolボタンを押し、パスワード"asmedia"を入力します。
・GUIに各項目を以下のように設定します。シリアルナンバーは適当で良いです。
・More Configボタンを押し、以下のように設定します。
・FW（100824000000）のbinを選択します。
・Startボタンを押すとファームウェアが焼かれます。
・PCから取り外して電源を再投入します。
＊KRHC-SATA/U3は初期ファーム（100210001901）の影響か、1.10での認識が上手くいかなかった為、一度2.0.2を使用してMore Configのオプション全無効（下記画像参照）で書き込んだ後、1.10でGW3.5AI-SU3と同様のオプション設定にて書き込みを行ったら上手くいきました。
４．アップデート後
無事にアップデートに成功し、USB3.0/2.0接続の両方で正常動作しました。
・3TB対応になった
・SMARTが読み取れるようになった。
Jmicron JMS539もFW更新で3TB対応になったので、これで手持ちのUSB3.0ケースで3TB非対応なのは富士通 MB86C30 1Bだけになりました。捨てなくて良かったです。
今までUSB3.0の外付けHDDは8台買いましたが、今から買うなら安くて速いMARSHAL MAL351U3がお勧めです。（オウルテックの黒角も気に入ってはいますが）